Cryptography – 300 pts (50 solves) – Chall author: Robin_Jadoul
This challenge is a prime example of why exploring (a local version of) the provided code can lead you to the flag, without at all understanding what is going on. I show you how I found the solution, I proof that it is indeed the solution, without touching any of the underlying math. Che… who needs number theory anyway?
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Exploration
Let’s get our priorities straight, where is the FLAG!? It appears to be encrypted by a key derived from some kind of private key.
# Generate private and public key-pair
priv, pub = gen()
# Construct key from private part of key-pair
key = deriv(priv)
# Encrypt the flag with the key
cipher = AES.new(hashlib.sha256(str(key).encode("utf-8")).digest(), AES.MODE_CBC, iv=b"\0" * 16)
ciphertext = cipher.encrypt(pad(FLAG.encode("utf-8"), 16))
The public-private key-pair is generated by a function gen()
def normalize(fac):
""" Return product of primes raised to their corresponding exponents """
n = 1
for p, e in fac:
n *= p**e
return n
def gen():
""" Return generated private and public key-pair """
private = []
for i in range(5):
p = getPrime(512)
e = getRandomRange(1, 4)
private.append((p, e))
return private, normalize(private)
such that the private key consists of 5 combinations of a 512-bit prime and an exponent within {1,2,3}. The public key is derived from the private part by calculating the product of all 5 primes raised to their corresponding exponents.
private : [(p1, e1), (p2, e2), (p3, e3), (p4, e4), (p5, e5)]
public : p1**e1 * p2**e2 * p3**e3 * p4**e4 * p5**e5
We are only given the public key in the end, so there must be a way for us to reconstruct the private part, or the derived key, from the public key. Sounds reasonable, right? So let’s run the code ourselves so that we can inspect all produced parameters.
private = [(12940356699497784078826577932219206646197358607489106582782676757383177576617869212339417734535611115109022383175848575702349449878197558937572596882668207, 3), (7182051910987323067377637358694621378283263400960491126222248627796204975101697816926742356614928700980465721022551277265141452287697179127326009534454171, 3), (7975766767651087394976711852782547747926233116194362367894671649616558058639545986464571693308508991510608898188248027474079456541461851774009509740494261, 1), (8633779145357346409922539167385073556490846293995308613511263173232191999116053451606465072149382187792754260581143026437758930251972438693501270462942249, 2), (6785647768001208470902161823791736003949075870423831821314748902452608690856446687078039932085332106204856564990841015390518184765694642716474411586204069, 2)]
public = 21975628429610478812250022160543852813648146865348100984003386725218569296296914576373590351232053575976844043363824077162200151336466709026825119740760332695238496901788124357541931637716960665041245670384996631321906272075238260126107562207990166333931416329177339857808484866327998218003863153046431837726378748915900168436324368830058787589654893221446149885392311713231848507952114304628827194721095704175075740928749823376501161843017180395731453864879329055837672308262392195672226880243996098472748941681108244786942553174621386478344306586951105335295755330610186972772134587905092325809507100608735249513330662090711401217318563746429229926943785803358698381165425032736012003007872792410241247119826714750117393502544272996969364205466103291476129539366203214660016597504891143339745454202595095395750647224797553573726188353279837312362051447796779075896925124582658934557590675275580939356775685163370558833522938124336156979748434671433571329810797710974604624856826108247232623946798173804029720178568437991511214341507476076273946612964724674659738070804539923595639601031327331006292089101446960453450960350750185826824222674457342473864453329431811329793326251026328110486401651376926137212388479777631583057003736979312783362850648581750698975173768776226493150569877210198905407209740792188850794789272618936421311703464998629058508506896294489197004729845235242974506621912964498086753003774467786514311587105923340428036570253763316494363281392451887843344053394261467061153553549868461303322463661063144729680933251549207528484770157989726813858125283433173994269559426748875221371588078725653920016040627687653125556921871221942840478656265334594892678492194408517475033
key = 482928244876304319124940165274461185792743191074542498209850414613785771077964798668252095941675706768589329780281924865974732657672382109585264799953607687379881978863532829453866321112782855621094333591002161750838585812778034565600383302543590630337534069729297224255425922879583278813130620781165683670114224029840316638593148242522323748087067802339588103837554286548808692813051739547621284754310472764827523627578163168841479406789965184866127274356771863165075873903562454483331502910538983765170726589125966622240555247875490376351627005673716787710753118111721694117955064298205351477744510271498368842522374462630284754788913685208781864639573215784394252646945364354707824797356476953029163568232053612604330078504565599030879494688342465061190227161924528363707449008369072766067006973184378488245304512430906692696371710143113585023833095479945321895936888387673529809145667197590957371638420417290557310340123532169805032517087711679014390339904904473086022513220852634207296348800846279585581686045239621426566388077340776183516513275600460922110167294964653184261003388071977433639341569712201091025923880195020681554206855044028037516670326700756893155371282974046274184052167539889245591036242981363578932609271506489563704800622785204464318639221339875713977203099399327520929253651689943555234551327168115079299810404890723119332735751230026856196907822705537633226641365696118134990289476796689145354304965276785408493407966448024469807837391352494229033687785790913062393435410696277435560558492169471486772264194222149613883045537887714882911263064239347568995323111113861710610558847638912536792725107753823138052565529700792312616040352816099652924012123922107735951912717922930180292096496529394600882597680959038529210917849017317404281426076211877641332227402562133125933453753456076394093658905452242934677164533308012427683336405350559760106172168242591003127539542186230883915616559488313670310454204375580067662704006310046641211349373717207899384104911917719296329654996014864041003947907924678936222610731594710130168409219733843579356542332243465220336364307880050264745430342089656420261066241603839867224205595992541400755525543630914389086514891094850333130868383379796336572556582621412199164673606013945620862214503008318053531645857557234505492675537358134737265943653760509762169074879828321827878142075246859465634506939190458861738427479810033069869602413374278583625796365261548527155921766184185305582805846646426034397481027443149488926749787232002931559222881873909562333620154098034492083972424794987100843253102138532080000545617456002096160986855365073799336841539037703023260989459510088447049253803238441163229670942655435541447207716690456698671195669491053435312389268240491616192967254810124972185591117140690001618491348657318107330451124535580719534440460972378499147070859943123688998168381430678303461215427875518709443511967549010210249165452390025869116215085966441471815876508876758942144074888889093382350639343547563455378621030890188346530862329295259666714347550091366289741150295751020734705271507109913354522598161528410146896698859794972232680771501990163677359845616333499922250504810703221127019222095056380356737782480687169867930294354433420310315834678419700474042262913548090707368929089408568462740161112321470518517298823136808062514740518572060074749944852103907654495326538240844134883847312211337778351089
Because the derived key turns out to be significantly larger than the public key, the first thing I inspected were the quotient and remainder of the key with respect to the public key. Immediately, we find something peculiar.
key % pub = 0
key // pub = 21975628429610478812250022160543852813648146865348100984003386725218569296296914576373590351232053575976844043363824077162200151336466709026825119740760332695238496901788124357541931637716960665041245670384996631321906272075238260126107562207990166333931416329177339857808484866327998218003863153046431837726378748915900168436324368830058787589654893221446149885392311713231848507952114304628827194721095704175075740928749823376501161843017180395731453864879329055837672308262392195672226880243996098472748941681108244786942553174621386478344306586951105335295755330610186972772134587905092325809507100608735249513330662090711401217318563746429229926943785803358698381165425032736012003007872792410241247119826714750117393502544272996969364205466103291476129539366203214660016597504891143339745454202595095395750647224797553573726188353279837312362051447796779075896925124582658934557590675275580939356775685163370558833522938124336156979748434671433571329810797710974604624856826108247232623946798173804029720178568437991511214341507476076273946612964724674659738070804539923595639601031327331006292089101446960453450960350750185826824222674457342473864453329431811329793326251026328110486401651376926137212388479777631583057003736979312783362850648581750698975173768776226493150569877210198905407209740792188850794789272618936421311703464998629058508506896294489197004729845235242974506621912964498086753003774467786514311587105923340428036570253763316494363281392451887843344053394261467061153553549868461303322463661063144729680933251549207528484770157989726813858125283433173994269559426748875221371588078725653920016040627687653125556921871221942840478656265334594892678492194408517475033
Hah! It appears that if we divide the derived key by the public key, we get the public key exactly. This means that our derived key is simply the square of the public key. Strength in numbers, ye right…
But don’t just take my word for it, let’s try some symbolic ‘math’! Or in other words, we will have Python’s Sympy module do the work for us :). Instead of generating random primes, we will use the variables ‘p1,p2,p3,p4,p5’. Because the code uses the value of ‘e’ within range() later on in the code, we cannot turn these into variables. Our new ‘gen()’ then becomes as follows.
import sympy as sp
p1,p2,p3,p4,p5 = sp.symbols('p1 p2 p3 p4 p5')
def normalize(fac):
""" Return product of primes raised to their corresponding exponents """
n = 1
for p, e in fac:
n *= p**e
return n
def gen():
""" Return generated private and public key-pair """
private = []
for i in range(5):
p = [p1,p2,p3,p4,p5][i]
e = getRandomRange(1, 4)
private.append((p, e))
return private, normalize(private)
We then generate a key-pair
private : [(p1, 2), (p2, 1), (p3, 3), (p4, 2), (p5, 1)]
public : p1**2 * p2 * p3**3 * p4**2 * p5
and derive the key to see what happens under the hood of the ‘deriv()’ function.
p1**3*p2*p3**5*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**5*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3**5*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**5*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2 + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3**2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2 + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3**2*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1) + p1**3*p2*p3*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 4*p1**3*p2*p3*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)**2 + 2*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 4*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 4*p1**3*p2*p3*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p1**3*p2*p3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p1**3*p2*p3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p1**3*p2*p3*p5*(p1 - 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1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2 + 2*p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)**2 + 2*p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p1 - 1)*(p3 - 1) + p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)**2 + 2*p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + 2*p3*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p2 - 1)*(p3 - 1) + p3*(p3 - 1)**2*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p3*(p3 - 1)**2*(p4 - 1) + p3*(p3 - 1)**2*(p5 - 1) + p3*(p3 - 1)**2 + 2*p3*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p3 - 1)*(p4 - 1) + 2*p3*(p3 - 1)*(p5 - 1) + 2*p3*(p3 - 1) + p3 + p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*p5*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p1 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p2 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4**3*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4**3*(p4 - 1) + p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p1 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*p5*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + 2*p4*p5*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p1 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p1 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p2 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p2 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p3 - 1)*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p3 - 1)*(p4 - 1) + p4*(p4 - 1)**2*(p5 - 1) + p4*(p4 - 1)**2 + 2*p4*(p4 - 1)*(p5 - 1) + 2*p4*(p4 - 1) + p4 + p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p2 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p1 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p2 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p3 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p4 - 1)*(p5 - 1) + p5*(p5 - 1) + p5 + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p3 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p4 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p2 - 1) + (p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + (p1 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p3 - 1) + (p1 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p1 - 1)*(p4 - 1) + (p1 - 1)*(p5 - 1) + (p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p2 - 1)*(p3 - 1)*(p4 - 1) + (p2 - 1)*(p3 - 1)*(p5 - 1) + (p2 - 1)*(p3 - 1) + (p2 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p2 - 1)*(p4 - 1) + (p2 - 1)*(p5 - 1) + (p3 - 1)*(p4 - 1)*(p5 - 1) + (p3 - 1)*(p4 - 1) + (p3 - 1)*(p5 - 1) + (p4 - 1)*(p5 - 1) - 4
Uhmm… Yeah, so… Even FlexTape (not a sponsor) cannot patch this mess up, but luckily sympy.simplify() can! Turns out we find exactly what we were expecting.
p1**4*p2**2*p3**6*p4**4*p5**2 = (p1**2 p2 p3**3 p4**2 p5)**2 = PUB**2
Technically this only proves it for the case when ‘e = [2,1,3,2,1]’, but you can iterate over all possible combinations of ‘e’ and you will find the same answer.
Exploitation
Now that we have uncovered the secret simplicity of the key construction, we only have to square the given public key in order to retrieve our flag. Yay for another day of dodging responsibilities, yay for another day without math!
PUB = 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
CIP = 0xd2463ccc52075674effbad1b1ea5ae9a9c8106f141cff8fdec9b118ddddcfb3a1f036ed5f3bf0440c95828ebf1c584e4
cipher = AES.new(hashlib.sha256(str(PUB*PUB).encode("utf-8")).digest(), AES.MODE_CBC, iv=b"\0" * 16)
cipher.decrypt(long_to_bytes(CIP))
Ta-da!
ictf{Would_number_theory_be_new_technology?}